6.6. МОДЕЛЬ РЕЗЕРВИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЧИСЛОМ ДЕФЕКТОВ

В предыдущем разделе была рассмотрена надежностная модель системы, состоящей из m последовательно соединенных блоков, каждый из которых содержит по n параллельно соединенных элементов. Было показано, что поведение этой системы решающим образом зависит от начальных условий. Если система исходно идеальна, т.е. если вероятность q для элементов быть исходно работоспособными равна единице, то модель приводит к степенному закону роста интенсивности смертности (закону Вейбулла). Если же, наоборот, система с самого начала насыщена дефектами, и вероятность элементов быть исходно работоспособными близка к нулю. модель приводит к экспоненциальному закону роста интенсивности смертности (закону Гомперца). В обоих случаях, однако, существует верхний предел роста интенсивности смертности, определяемый произведением числа блоков (m) на интенсивность отказа элементов (k). В данном разделе будет рассмотрен более общий случай, когда вероятность элемента быть исходно работоспособным может принимать любые положительные значения: 0 < q 1.

В общем случае распределение блоков в организме по числу исходно работоспособных элементов описывается не законом Пуассона, а биномиальным распределением. Для исходно живого организма это распределение должно быть усечено слева, поскольку, согласно модели, организм, содержащий блок без работоспособных элементов (i = 0) не может быть живым.

Поэтому распределение блоков по числу i исходно работоспособных элементов внутри исходно живых организмов задается следующими значениями вероятности P_i:

где с - нормирующий множитель, обеспечивающий равенство единице для суммы вероятностей всех событий.

Интенсивность отказов системы, построенной из т последовательно соединенных блоков, равна сумме интенсивностей отказов этих блоков:

Как уже отмечалось, в начальный момент времени, когда х << 1/k, интенсивность отказа блока с i исходно работоспособными элементами равна:

Сопоставляя две приведенные выше формулы, получаем:

Учитывая, что

для i = 1,2,3...n, получаем:

Представленная в этом выражении сумма является биномом Ньютона для выражения [ Поэтому можно записать:

где параметр, который мы предлагаем называть начальным виртуальным возрастом системы. Действительно, этот параметр имеет размерность времени и соответствует возрасту, в течение которого исходно идеальная система накопила бы столько дефектов, сколько реальная система уже имеет в начальный момент времени (при х = 0). В частности, когда q = 1, т.е. когда все элементы исходно работоспособны, начальный виртуальный возраст системы равен нулю и интенсивность смертности растет с возрастом по степенному закону (закону Вейбулла), что соответствует случаю, разобранному в разделе 6.5. В случае же, когда система исходно не идеальна (q < 1), мы приходим к так называемому биномиальному закону смертности, впервые предложенному в 1986 г. и упомянутому в разделе 2.4 данной книги. Таким образом, предложенная здесь обобщенная надежностная модель является теоретическим обоснованием биномиального закона смертности.

В случае, когда Х₀ > 0, всегда существует начальный период времени, такой, что x << x₀ и справедливо следующее приближение биноминального закона:

Следовательно, при любом значении q < 1 всегда существует начальный период времени х, когда число вновь образовавшихся дефектов много меньше их исходного числа, и интенсивность смертности экспоненциально растет с возрастом:

итак, если система исходно неидеальна {q < 1), то интенсивность смертности в начальный период времени экспоненциально растет с возрастом (по закону Гомперца).

Обсуждаемая модель позволяет объяснить не только экспоненциальное увеличение интенсивности смертности с возрастом, но и компенсационный эффект смертности, описанный в разделе 4.5. Действительно, согласно введенным обозначениям:

т.е. величины ln R и параметрически связаны через величину (n - 1), что позволяет представить ln R как функцию :

Таким образом, компенсационный эффект смертности наблюдается тогда, когда различия в смертности обусловлены межпопуляционными различиями по числу элементов в блоке (n), а другие параметры, включая скорость старения (скорость необратимой гибели элементов k), практически одинаковы для всех сопоставляемых популяций одного вида. Нетрудно заметить сходство подобного объяснения компенсационного эффекта смертности с объяснением, вытекающим из предыдущей модели, описанной в разделе 6.5.

Следует отметить, что продолжительность периода экспоненциального роста интенсивности смертности зависит от величины q. В общем случае поведение системы на участке возрастов 0 < х << 1/k в зависимости от величины q может быть сведено к трем сценариям:

1. 0 < q 1/2. Данный случай соответствует ситуации, когда исходно работоспособно менее половины общего числа элементов. В этом случае и, следовательно, x₀ 1/k. Поэтому во всем интервале, когда x << 1/k, всегда выполняется и условие x << x₀. В этом случае интенсивность смертности во всем рассматриваемом интервале экспоненциально растет с возрастом.

2. 1/2 < q < 1. Данный случай соответствует ситуации, когда исходно работоспособно более половины всех элементов. В этом случае

и x₀ < 1/k. В данной ситуации возрастная динамика смертности в исследуемом возрастном интервале (0 < x << 1/k) состоит из двух стадий:

a) первая стадия начального периода, когда x << x₀ и, следовательно, биномиальный закон смертности сводится к закону Гомперца.

b) вторая стадия начального периода, когда х x₀ и применим только биномиальный закон смертности в полном виде без приближений.

3. 1/2 << q < 1. Данный случай соответствует ситуации, когда исходно дефектна лишь очень небольшая часть элементов. В этом случае и x₀ << 1/k, а возрастная динамика смертности состоит из трех стадий:

a) первая стадия начального периода, когда x << x₀  и  биноминальный закон смертности сводится к закону Гомпарца.

b) вторая стадия начального периода, когда х x₀ и применим только биномиальный закон смертности.

c) третья стадия начального периода, когда х << x₀ << 1/k и биномиальный закон смертности сводится к степенному закону роста интенсивности смертности (закону Вейбулла).

По мере того как q стремится к единице, продолжительность первой стадии начального периода с экспоненциальным ростом интенсивности смертности стремительно уменьшается, а третьей - стремительно растет. В пределе, в случае исходно идеальной системы (q = 1), мы приходим к закону Вейбулла, справедливому на всем возрастном интервале 0 < x << 1/k. Этот случай уже был описан в разделе 6.5.

Как уже отмечалось, с увеличением возраста интенсивность отказа блоков асимптотически стремится к верхнему пределу интенсивности отказов, не зависящему от числа исходно работоспособных элементов и равному k. Поэтому интенсивность смертности системы, состоящей из m последовательно соединенных блоков, с увеличением возраста асимптотически стремится к верхнему пределу интенсивности смертности, равному mk, независимо от величин n и q.

Таким образом, обсуждаемая надежностная модель позволяет объяснить основные закономерности смертности организмов: экспоненциальный рост интенсивности смертности в начальный период с последующим замедлением темпов ее роста, а также компенсационный эффект смертности. Кроме того, обсуждаемая модель позволяет выяснить условия, при которых наблюдается не экспоненциальный, а степенной закон роста интенсивности смертности (закон Вейбулла). Наконец, предложенная модель позволяет представить два на первый взгляд взаимоисключающих закона - Гомперца и Вейбулла - как частные случаи одного, более общего биномиального закона смертности, получившего в данной модели строгое теоретическое обоснован и е

Согласно предложенной модели, судьба неработоспособных элементов и их гибель совершенно не влияют на выводы модели Поэтому модель будет справедлива и в том случае, если все неработоспособные элементы уже погибнут к моменту формирования взрослого организма, и он будет состоять только из работоспособных элементов (клеток) Важно, что при этом все равно останется след в виде биномиального распределения блоков по числу работоспособных элементов внутри организма Собственно говоря, в этом и состоит суть модели, а рассуждения об исходно дефектных элементах являются лишь одним из возможных обоснований причин вариабельности по степени резервирования Поэтому предложенная модель может быть названа также моделью последовательно соединенных блоков с варьирующей степенью резервирования

С учетом сделанных замечаний основной вывод модели может быть переформулирован следующим образом "Если жизненно важные блоки системы различаются по степени их резервирования, то интенсивность смертности в начальный период времени экспоненциально растет с возрастом (по закону Гомперца)" Это утверждение справедливо при любой форме биномиального распределения блоков в организме по степени их резервирования с отрицательной (левосторонней) асимметрией, полностью симметричной (нормальный закон распределения), и с положительной (правосторонней) асимметрией Единственное влияние формы распределения состоит в том, что при отрицательной (левосторонней) асимметрии распределения экспоненциальный рост интенсивности смертности может продолжаться недолго, а в случае симметричного распределения и распределения с положительной асимметрией период экспоненциального роста интенсивности смертности значительно более продолжителен

Предложенная модель позволяет также устранить противоречие между экспоненциальным ростом интенсивности общей смертности и степенным ростом интенсивности смертности от ряда болезней Действительно, классификация болезней и причин смерти во многом основана на анатомическом принципе и учете поражения отдельных органов (блоков) организма Между тем из рассмотренной модели следует, что каждый блок системы отказывает именно по степенному закону, что в итоге приводит к экспоненциальному росту интенсивности общей смертности Следует, однако, отметить, что подобное объяснение, да и сама модель предполагают исходную однородность организмов по числу содержащихся в них блоков с различной степенью резервирования Поэтому заслуживает внимания анализ исходно гетерогенной популяции, которому посвящен следующий раздел книги

Дизайн сайта разработан KN Graphics